Wzór 1: Kwadrat sumy
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Wyprowadzenie:
(a + b)² = (a + b)(a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
Przykład: (x + 3)² = x² + 2·x·3 + 3² = x² + 6x + 9
💡 Zapamiętaj: Kwadrat pierwszego + podwójny iloczyn + kwadrat drugiego
Wzór 2: Kwadrat różnicy
(a - b)² = a² - 2ab + b²
Wyprowadzenie:
(a - b)² = (a - b)(a - b)
= a·a + a·(-b) + (-b)·a + (-b)·(-b)
= a² - ab - ab + b²
= a² - 2ab + b²
Przykład: (x - 4)² = x² - 2·x·4 + 4² = x² - 8x + 16
💡 Zapamiętaj: Kwadrat pierwszego - podwójny iloczyn + kwadrat drugiego
Wzór 3: Różnica kwadratów
(a + b)(a - b) = a² - b²
Wyprowadzenie:
(a + b)(a - b)
= a·a + a·(-b) + b·a + b·(-b)
= a² - ab + ab - b²
= a² - b² (środkowe wyrazy się redukują!)
Przykład: (x + 5)(x - 5) = x² - 5² = x² - 25
💡 Zapamiętaj: Iloczyn sumy i różnicy = kwadrat pierwszego - kwadrat drugiego
⚠️ Częste błędy:
• (a + b)² ≠ a² + b² (brakuje 2ab!)
• (a - b)² ≠ a² - b² (wynik to a² - 2ab + b²)
• Pamiętaj o znakach przy kwadracie różnicy!